Question

抛物线y=x²-4x-3及其在点A（1，0）和点B（3，0）处的切线所围成图形的面积为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：导数的综合应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：欲求切线的方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合A（1，0），B（3，0）都在抛物线上，即可求出切线的方程，然后可得直线与抛物线的交点的坐标和两切线与x轴交点的坐标，最后根据定积分在求面积中的应用公式即可求得所围成的面积S即可．

解答： 解：对y=x²-4x-3求导可得，y′=2x-4
∴抛物线y=x²-4x-3及其在点A（1，0）和B（3，0）处的两条切线的斜率分别为-2，2
从而可得抛物线y=x²-4x-3及其在点A（1，0）和B（3，0）处的两条切线方程分别为
l₁：2x+y-2=0，l₂：2x-y-6=0
由

y=2x-2 y=-2x+6

，求得交点C（2，2）．
所以S=S_△ABC-

∫

3 1

（x²-4x-3）dx=

2

3

．

故答案为：

2

3

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分在求面积中的应用等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．