Question

f（x）=[x]（x-[x]），[x]为x的整数部分，且g（x）=x-1，则f（x）≤g（x）的解集为

 

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Answer 1

考点：函数的图象,不等式比较大小

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：题干中出现了高斯函数（也称取整函数），考虑就x的取值范围进行讨论，

解答： 解：①当0≤x＜1时，[x]=0，x-1＜0，
∴f（x）=0，g（x）=x-1＜0，即f（x）＞g（x），不合题意；
②当x≥1时，假设n≤x＜n+1，则[x]=n，f（x）=n（x-n），而g（x）=x-1，
∴f（x）-g（x）=n（x-n）-x+1=（n-1）x-n²+1＜（n-1）（n+1）-n²+1=0，
即x≥1满足要求，
③当x＜0时，假设n≤x＜n+1＜0（n＜-1），则[x]=n，f（x）=n（x-n），而g（x）=x-1，
∴f（x）-g（x）=n（x-n）-x+1=（n-1）x-n²+1＞（n-1）（n+1）-n²+1=0，
即不满足题意，
∴不等式f（x）≤g（x）的解集为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞），

点评：本题涉及不等式中的比较大小问题，与高斯函数（也称取整函数）相结合，有一定的难度，抓住高斯函数的特征，借助作差比较进行求解，