Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ）（θ∈[0，π]），

b

=（

3

，-1），则|2

a

-

b

|的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：由题设先求出2

a

-

b

的坐标，再求出其模的表达式，再利用三角函数的相关知识即可求出其取值范围．

解答： 解：∵

a

=（cosθ，sinθ）（θ∈[0，π]），

b

=（

3

，-1），
∴2

a

-

b

=（2cosθ-

3

，2sinθ+1）
|2

a

-

b

|=

(2cosθ- 3 )2+(2sinθ+1)2

=

4-4 3 cosθ+3+4sinθ+1

=

8-8( 3 2 cosθ- 1 2 sinθ)

=

8-8cos(θ+ π 6 )

又θ∈[0，π]，∴θ+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴cos(θ+

π

6

)∈[-1，

3

2

]，
∴8-8cos(θ+

π

6

)∈[8-4

3

，16]．
∴|2

a

-

b

|的取值范围是[

6

-

2

，4]．
故答案为：[

6

-

2

，4]．

点评：本题考查向量的坐标运算，向量求模的公式，三角函数最值的求法，综合性强，计算量大，解答时要认真细致，灵活运用所学知识变形方能正确作答．