题目内容
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，且a≤-2．
证明：对任意的x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
证明：对任意的x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：导数的综合应用
分析：先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，g（x）=f（x）+4x，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题．
解答：
解：不妨假设x1≤x2．由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．
所以|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于f（x1）-f（x2）≥4x2-4x1，
即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．
令g（x）=f（x）+4x，则g′(x)=
+2ax+4=
，
∵g′(x)=
≤
=
≤0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x1）≥g（x2）
即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，
∴对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
所以|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于f（x1）-f（x2）≥4x2-4x1，
即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．
令g（x）=f（x）+4x，则g′(x)=
| a+1 |
| x |
| 2ax2+4x+a+1 |
| x |
∵g′(x)=
| 2ax2+4x+a+1 |
| x |
≤
| -4x2+4x-1 |
| x |
=
| -(2x-1)2 |
| x |
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x1）≥g（x2）
即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，
∴对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．属于中档题．
练习册系列答案
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设a=40.6，b=0.63，c=log0.63，则a、b、c的大小关系是（ ）
| A、a＜b＜c |
| B、b＜a＜c |
| C、b＜c＜a |
| D、c＜b＜a |
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A、4-
| ||
B、4-
| ||
C、6-
| ||
D、8-
|
