Question

已知f（x）=aln（x-1），g（x）=x²+bx，F（x）=f（x+1）-g（x），其中a，b∈R．
（I）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；
（Ⅱ）当b=2-a，a＞0时，求F（x）的最大值；
（Ⅲ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x₀和1是F（x）的两个零点，且x₀∈（n，n+1），n∈N，求n．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义建立切线斜率之间的关系建立方程，求a，b的值；
（Ⅱ）利用导数判断函数的单调性求出最大值；
（Ⅲ）根据导数和函数极值之间的关系建立方程，即可求n；

解答： 解：（I）f′（x）=

a

x-1

，g'（x）=2x+b…（1分）
由题知

f(2)=g(2) f′(2)g′(2)=-1

，即

4+2b=0 a(4+b)=-1

…（2分）
解得a=-

1

2

，b=-2．
（Ⅱ）当b=2-a时，F（x）=alnx-[x²+（2-a）x]，
∴F′（x）=

a

x

-2x-（2-a）=

a-2x2-(2-a)x

x

=

(2x-a)(x+1)

x

，----------------（6分）
∵a＞0，∴

a

2

＞0，又x＞0，x+1＞0，
则由F′（x）=0，解得x=

a

2

，-------------------------------------（7分）
F（x）与F′（x）的变化情况如下表：

x	（0， a 2 ）	a 2	（ a 2 ，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	↗	极大值	↘

∴F（x）_max=F（

a

2

）=aln

a

2

-[

a2

4

+(2-a)•

a

2

]=aln

a

2

+

a2

4

-a．--------------------（9分）
（Ⅲ）F（x）=f（x+1）-g（x）=alnx-（x²+bx），F′（x）=

a

x

-2x-b
由题知

F′(2)=0 F(1)=0

，即

a 2 -4-b=0 1+b=0

，即解得a=6，b=-1…（11分）
∴F（x）=6lnx-（x²-x），F′（x）=

6

x

-2x+1=

-(2x+3)(x-2)

x

，
∵x＞0，由F'（x）＞0，解得0＜x＜2；由F'（x）＜0，解得x＞2
∴F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，
故F（x）至多有两个零点，其中x₁∈（0，2），x₂∈（2，+∞）…（12分）
又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3-1）＞0，F（4）=6（ln4-2）＜0
∴x₀∈（3，4），故n=3    …（14分）

点评：本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握函数的性质和导数之间的关系，考查学生的运算能力．