Question

20．已知函数f（x）=|x-2|+|2x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥7；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+|x-2|＞a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解不等式f（x）≥7；
（Ⅱ）f（x）+|x-2|=2|x-2|+|2x+1|≥|2x+1-（2x-4）|=5，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（I）当x≤-$\frac{1}{2}$时，不等式可化为2-x-2x-1≥7，得x≤-2，此时x≤-2；
当-$\frac{1}{2}$＜x＜2时，不等式可化为2-x+2x+1≥7，得x≥6，此时无解；
当x≥2时，不等式可化为x-2+2x+1≥7，得x≥$\frac{8}{3}$，∴x≥$\frac{8}{3}$．…（4分）
综上，所求不等式的解集为{x|x≥$\frac{8}{3}$或x≤-2}．…（5分）
（Ⅱ）f（x）+|x-2|=2|x-2|+|2x+1|≥|2x+1-（2x-4）|=5，
若关于x的不等式f（x）+|x-2|＞a恒成立，则a＜5．

点评 本题主要考查函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．