Question

12．双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$
（1）点A₁（-a，0），A₂（a，0），动点P在E上，作A₁Q⊥A₁P，A₂Q⊥A₂P，求点Q的轨迹方程；
（2）点M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）为E上的定点，点P为E上的动点，作MP⊥MQ，NP⊥NQ，求Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设P（x₀，y₀）（x≠±a），Q（x，y）．由条件$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}=-1}\\{\frac{y}{x-a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-1}\end{array}\right.$，解得x₀，y₀，代入双曲线化简即可得出．
（2）设Q（x，y），P（x₁，y₁），则$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1．可得$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$．根据MP⊥MQ，NP⊥NQ，可得$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=（x₁-x₀）（x-x₀）+（y₁-y₀）（y-y₀）=0，$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NQ}$=（x₁+x₀）（x+x₀）+（y₁+y₀）（y+y₀）=0，于是$（{x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}）$$（{x}^{2}-{x}_{0}^{2}）$+$（{y}_{1}^{2}-{y}_{0}^{2}）$$（{y}^{2}-{y}_{0}^{2}）$=0，即可得出根据方程．

解答 解：（1）设P（x₀，y₀）（x≠±a），Q（x，y）．
∵A₁（-a，0），A₂（a，0）．
由条件$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}=-1}\\{\frac{y}{x-a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=-1}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-x（x≠±a）}\\{{y}_{0}=\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{y}}\end{array}\right.$，
而点P（x₀，y₀）在双曲线上，∴b²x₀²-a²y₀²=a²b²．
即b²（-x²）-a²（$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{y}$）²=a²b²
化简得Q点的轨迹方程为：a²x²-b²y²=a⁴（x≠±a）．
（2）设Q（x，y），P（x₁，y₁），则$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
∴$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$（*）
∵MP⊥MQ，NP⊥NQ，
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=（x₁-x₀）（x-x₀）+（y₁-y₀）（y-y₀）=0，
$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NQ}$=（x₁+x₀）（x+x₀）+（y₁+y₀）（y+y₀）=0，
∴$（{x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}）$$（{x}^{2}-{x}_{0}^{2}）$+$（{y}_{1}^{2}-{y}_{0}^{2}）$$（{y}^{2}-{y}_{0}^{2}）$=0，（**）
把（*）代入（**）可得：a²x²-b²y²=${a}^{2}{x}_{0}^{2}$-${b}^{2}{y}_{0}^{2}$．

点评 本题考查了求轨迹方程的方法、数量积于是性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．