Question

11．已知函数$f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤\frac{π}{2}）$，$y=f（x-\frac{π}{4}）$为奇函数，x=$\frac{π}{4}$为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在$（{\frac{π}{14}，\frac{13π}{84}}）$单调，则ω的最大值为（　　）

• A． 13
• B． 11
• C． 9
• D． 7

Answer 1

分析 由$y=f（x-\frac{π}{4}）$为奇函数求得φ-$\frac{ωπ}{4}$=kπ，k∈Z  ①；再根据x=$\frac{π}{4}$为y=f（x）图象的对称轴，可得$\frac{ωπ}{4}$+φ=nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z②．由①②可得ω为奇数．再根据f（x）在$（{\frac{π}{14}，\frac{13π}{84}}）$单调，可得ω≤12，由此求得ω的最大值．

解答 解：∵函数$f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤\frac{π}{2}）$，
$y=f（x-\frac{π}{4}）$=sin[ω（x-$\frac{π}{4}$）+φ]=sin（ωx+φ-$\frac{ωπ}{4}$）为奇函数，
∴φ-$\frac{ωπ}{4}$=kπ，k∈Z  ①．
再根据x=$\frac{π}{4}$为y=f（x）图象的对称轴，可得$\frac{ωπ}{4}$+φ=nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z②．
由①②可得ω=2（n-k）+1，即ω为奇数．
∵f（x）在$（{\frac{π}{14}，\frac{13π}{84}}）$单调，∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$≥$\frac{13π}{84}$-$\frac{π}{14}$ ③，
由③可得ω≤12，故ω的最大值为11，
故选：B．

点评 本题主要考查诱导公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于中档题．