题目内容
9．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准（1）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如表所示：
| X1 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| P | 0.4 | a | b | 0.1 |
（2）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；
②“性价比”大的产品更具可购买性．
分析 （1）由EX1=6和X1的概率分布列，列出方程组，能求出a，b的值．
（2）由已知求出样本的频率分布列和等级系数X2的概率分布列，从而能求出乙厂产品的等级系数的数学期望．
（3）分别求出甲厂和乙厂的性价比，从而得到乙厂的产品更具可购买性．
解答 本题满分（12分）
解：（1）∵EX1=6，∴5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，
即6a+7b=3.2，
又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5，
由$\left\{\begin{array}{l}{6a+7b=3.2}\\{a+b=0.5}\end{array}\right.$，解得a=0.3，b=0.2．（4分）
（2）由已知得，样本的频率分布列如下：
| X2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| f | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| X2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| P | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1
=4.8，
∴乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8．（8分）
（3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为$\frac{6}{6}$=1．
∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为$\frac{4.8}{4}=1.2$．
据此，乙厂的产品更具可购买性． （12分）
点评 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质的应用，考查数据的分布及整理能力，是中档题．
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