Question

5．已知f（x）=$\frac{x}{1+x}$，x≥0，若f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N₊，则f₂₀₁₇（x）的表达式为f₂₀₁₇（x）=$\frac{x}{1+2017x}$．

Answer 1

分析 由题意，可先求出f₁（x），f₂（x），f₃（x）…，归纳出f_n（x）的表达式，即可得出f₂₀₁₇（x）的表达式

解答 解：由题意f₁（x）=f（x）=$\frac{x}{1+x}$．
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{\frac{x}{1+x}}{1+\frac{x}{1+x}}$=$\frac{x}{1+2x}$，
f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{\frac{x}{1+2x}}{1+\frac{x}{1+2x}}$=$\frac{x}{1+3x}$，
…
f_n（x）=f（f_n-1（x））=$\frac{x}{1+nx}$，
∴f₂₀₁₇（x）=$\frac{x}{1+2017x}$，
故答案为：$\frac{x}{1+2017x}$

点评 本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征．