Question

19．函数y=$\frac{{{x^2}+x+4}}{{{x^2}+4}}$的值域是[$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 将函数化为y=1+$\frac{x}{{x}^{2}+4}$，讨论x=0，x＞0，x＜0，分子常数化，运用基本不等式即可得到所求最值，进而得到范围．

解答 解：函数y=$\frac{{{x^2}+x+4}}{{{x^2}+4}}$
=1+$\frac{x}{{x}^{2}+4}$，
当x=0时，y=1；
当x＞0时，y=1+$\frac{1}{x+\frac{4}{x}}$≤1+$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{4}{x}}}$=$\frac{5}{4}$，
当且仅当x=2时取得最大值$\frac{5}{4}$；
当x＜0时，y=1+$\frac{1}{x+\frac{4}{x}}$≥1-$\frac{1}{2\sqrt{（-x）•\frac{4}{-x}}}$=$\frac{3}{4}$，
当且仅当x=-2时取得最小值$\frac{3}{4}$．
则函数y=$\frac{{{x^2}+x+4}}{{{x^2}+4}}$的值域是[$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$]．
故答案为：[$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$]．

点评 本题考查函数的值域的求法，注意运用讨论思想方法，以及基本不等式，考查运算能力，属于中档题．