Question

1．已知函数f（x）满足f（1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞1，则f（x）＞x的解集是（1，+∞）．

Answer 1

分析 题目给出的函数f（x）为抽象函数，没法代式求解不等式f（x）＞x，结合题目给出了对任意x∈R，f′（x）＞1这一条件，想到借助于辅助函数解决，令令g（x）=f（x）-x，然后分析g（x）在实数集上的单调性，又f（1）=1，可求出g（1）=0，最后用g（x）与0的关系求解不等式f（x）＞x的解集．

解答 解：令g（x）=f（x）-x，则，g′（x）=f′（x）-1，
∵f′（x）＞1，∴g′（x）＞0，所以函数g（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
又g（1）=f（1）-1=0，则由g（x）＞0，得g（x）＞g（1），即x＞1，
∴f（x）-x＞0的解集为（1，+∞），也就是f（x）＞x的解集为（1，+∞）
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，解答此题的关键是引入辅助函数g（x）．