Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a、b、c∈R，且a＞0），若a=1，又知x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，且x₁，x₂∈（m，m+1），其中m∈R，求f（m）f（m+1）的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：设f（x）=（x-x₁）（x-x₂），x₁，x₂∈（m，m+1），得到f（m）•f（m+1）=（m-x₁）（m-x₂）（m+1-x₁）（m+1-x₂）=[（x₁-m）（m+1-x₁）][（x₂-m）（m+1-x₂]，再利用基本不等式求最值．

解答： 解：不妨设f（x）=（x-x₁）（x-x₂），x₁，x₂∈（m，m+1），
由m-x₁＜0，m-x₂＜0，m+1-x₁＞0，m+1-x₂＞0，
∴f（m）•f（m+1）=（m-x₁）（m-x₂）（m+1-x₁）（m+1-x₂）
=[（x₁-m）（m+1-x₁）][（x₂-m）（m+1-x₂]
≤(

x1-m+m+1-x1

2

)2•(

x2-m+m+1x2

2

)2
=

1

16

，
当且仅当x₁=x₂=m+

1

2

时取等号，
∴f（m）f（m+1）的最大值为

1

16

．

点评：本题属于二次函数的性质问题，在求解过程中注意基本不等式的应用问题．