Question

若实数x，y满足x≥-1，y≥-1且2^x+2^y=4^x+4^y，则2^2x-y+2^2y-x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,有理数指数幂的运算性质

专题：计算题,压轴题

分析：运用换元设2^x=u，2^y=v，由于x≥-1，y≥-1即u≥

1

2

，v≥

1

2

，将2^x+2^y=4^x+4^y，转化为（u-

1

2

）²+（v-

1

2

）²=

1

2

表示

1

4

个圆弧AB，将2^2x-y+2^2y-x化简得到

u

v

+

v

u

-(u+v)+2，再换元令k=

u

v

，求出k的范围是[

2

-1，

2

+1]，再运用基本不等式求出k+

1

k

的最小值，同时求出u，v，此时u+v取得最大，从而得到所求的最小值2；再求出k+

1

k

的最大值，同时求出u，v的值，得到u+v的最小值，从而得到所求的最大值即可．

解答： 解：设2^x=u，2^y=v，
∵x≥-1，y≥-1，∴u≥

1

2

，v≥

1

2

，
则2^x+2^y=4^x+4^y即为u+v=u²+v²，
（u-

1

2

）²+（v-

1

2

）²=

1

2

表示

1

4

个圆弧AB，
∴2^2x-y+2^2y-x=

u2

v

+

v2

u

=

u3+v3

uv

=

(u+v)(u2+v2-uv)

uv

=

(u+v)2

uv

-(u+v)
=

u

v

+

v

u

-(u+v)+2
令k=

u

v

，则∵A(

1

2

，

1+ 2

2

)，B(

1+ 2

2

，

1

2

)
∴k的范围是[

2

-1，

2

+1]，
则

u

v

+

v

u

=k+

1

k

，当k=1时取最小值2，
此时u+v取最大值2，且u=v=1，
∴

u

v

+

v

u

-(u+v)+2的最小值为2-2+2=2，
∵k+

1

k

的最大值为2

2

，此时k=

2

+1，或

2

-1，
即u=

1+ 2

2

，v=

1

2

，或u=

1

2

，v=

1+ 2

2

，
此时u+v取最小值1+

2

2

，
∴

u

v

+

v

u

-(u+v)+2的最大值为2

2

-1-

2

2

+2=

3 2 +2

2

，
∴2^2x-y+2^2y-x的取值范围是[2，

3 2 +2

2

]，
故答案为：[2，

3 2 +2

2

]．

点评：本题主要考查基本不等式及运用，考查对勾函数y=x+

a

x

（a＞0）的性质及运用，同时考查直线与圆的位置关系，考查最大减最小得最大，最小减最大得最小，注意等号同时取得，及运算能力，是一道难题．