Question

已知f（x）=x-

a

x

（a＞0），g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．
（Ⅰ）若对[1，+∞）内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）当a=1时，求最大的正整数k，使得任意k个实数x₁，x₂，…x_k∈[e，3]（e=2.71828…是自然对数的底数）都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立；
（ⅱ）求证：

1•4

4•12-1

+

2•4

4•22-1

+…+

n•4

4•n2-1

＞ln（2n+1）．

Answer 1

考点：数列的求和,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，把切点横坐标分别代入曲线和直线方程，由纵坐标相等得一关系式，再由切点处的导数等于切线的斜率得另一关系式，联立后求得b的值，把b的值代入函数解析式，把不等式f（x）≥g（x）恒成立分离变量转化为a≤x²-2xlnx恒成立，构造辅助函数h（x）=x²-2xlnx，利用导数求其最小值得答案．
（Ⅱ）（ⅰ）要对[e，3]内的任意k个实数x₁，x₂，…x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，由函数单调性可求得两函数的最值；（ⅱ）a=1时，根据（Ⅰ）的推导知x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x），即lnx＜

1

2

(x-

1

x

)．令x=

2k+1

2k-1

，得ln

2k+1

2k-1

＜

1

2

（

2k+1

2k-1

-

2k-1

2k+1

），整理得ln（2k+1）-ln（2k-1）＜

4k

4k2-1

，从而有ln（2n+1）=ln（2n+1）-ln（2n-1）+ln（2n-3）+…+ln5-ln3+ln3-ln1＜

4•1

4•12-1

+

4•2

4•22-1

+…+

4n

4n2-1

，即得结论；

解答： 解：（Ⅰ）设点（x₀，y₀）为直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，
则有2lnx₀+bx₀=2x₀-2      （*）
∵g′（x）=

2

x

+b，∴

2

x0

+b=2．   （**）
由（*）（**）两式，解得b=0，g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x）整理，得

a

x

≤x-2lnx，
∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x²-2xlnx恒成立．
设h（x）=x²-2xlnx，h′（x）=2x-2（lnx+x•

1

x

）=2x-2lnx-2，
再设m（x）=2x-2lnx-2，∴当x≥1时，m′（x）＞0，则h′（x）是增函数，
∴h′（x）≥h′（1）=0，h（x）是增函数，h（x）≥h（1）=1，
∴a≤1．
（2）（ⅰ）当a=1时，f（x）=x-

1

x

，
∵f′（x）=1+

1

x2

＞0，∴f（x）在[e，3]上是增函数，f（x）在[e，3]上的最大值为f（3）=

8

3

．
要对[e，3]内的任意k个实数x₁，x₂，…x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
∵当x₁=x₂=…=x_k-1=3时不等式左边取得最大值，x_k=e时不等式右边取得最小值．
∴（k-1）×

8

3

≤16×2，解得k≤13．因此，k的最大值为13．
（ⅱ）当a=1时，根据（Ⅰ）的推导有x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x），即lnx＜

1

2

(x-

1

x

)．
令x=

2k+1

2k-1

，得ln

2k+1

2k-1

＜

1

2

（

2k+1

2k-1

-

2k-1

2k+1

），
化简得ln（2k+1）-ln（2k-1）＜

4k

4k2-1

，
ln（2n+1）=ln（2n+1）-ln（2n-1）+ln（2n-3）+…+ln5-ln3+ln3-ln1
＜

4•1

4•12-1

+

4•2

4•22-1

+…+

4n

4n2-1

，
即

1•4

4•12-1

+

2•4

4•22-1

+…+

n•4

4•n2-1

＞ln（2n+1）．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值及函数与不等式的综合，考查了恒成立问题，考查了转化思想，训练了分离变量法和函数构造法，运用二次求导求函数的最值是解答该题的关键，是压轴题．