Question

已知函数f（x）=x-alnx，（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈[e，e²]是否存在实数a，使得函数f（x）有最大值e，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出a=2时，函数的导数，求出切线斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时①当0＜a＜e时，②当e≤a≤e²时，③当a＞e²时函数的单调性，求出最大值，解方程即可判断．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=x-2lnx的导数为f′（x）=1-

2

x

，
则f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1-2=-1，
切点为（1，1），则切线方程为y-1=-（x-1）即为x+y-2=0；
（2）f′（x）=1-

a

x

，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在[e，e²]递增，
f（x）的最大值为f（e²）=e²-2a=e，解得，a=

e2-e

2

＞0（舍去），
当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
①当0＜a＜e时，f（x）在[e，e²]递增，
f（x）的最大值为f（e²）=e²-2a=e，解得，a=

e2-e

2

＞0（符合），
②当e≤a≤e²时，f（x）在（e，a）单调递减，在（a，e²）单调递增，
∴f（x）的最大值为f（e²）=e²-2a=e，解得a=

e2-e

2

＜e（舍去），
或f（x）的最大值为f（e）=e-a=e，解得a=0（舍去），
③当a＞e²时，f（x）在[e，e²]单调递减，
∴f（x）的最大值为f（e）=e-a=e，解得a=0（舍去）．
综上所述，存在实数a=

e2-e

2

，使得函数f（x）在x∈[e，e²]有最大值e．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间和极值、最值，考查函数的单调性的运用，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于中档题．