题目内容

已知函数f（x）的定义域（0，+∞），若y=
f(x)
x
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=
f(x)
x2
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为A1，把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为A2
（1）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈A1且f（x）∉A2，求实数h的取值范围
（2）已知f（x）∈A2，且存在常数k，使得对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k，求k的最小值．
考点：函数与方程的综合运用
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（1）由f（x））∈A1且f（x）∉A2知g（x）=
f(x)
x
=x2-2hx-h在（0，+∞）上为增函数，F（x）=
f(x)
x2
=x-
h
x
-2h在（0，+∞）上不是增函数，求导F′（x）=1+
h
x2
；从而确定h的取值范围；
（2）利用反证法先证明f（x）≤0对任意的x∈（0，+∞）成立，再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解，从而可是当f（x）∈A2时，对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立，故当常数k≥0时，使得对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k；从而求最小值．
解答： 解：（1）∵f（x））∈A1且f（x）∉A2，
即g（x）=
f(x)
x
=x2-2hx-h在（0，+∞）上为增函数，
∴h≤0；
而F（x）=
f(x)
x2
=x-
h
x
-2h在（0，+∞）上不是增函数，
且F′（x）=1+
h
x2
；
当F（x）是增函数时，有h≥0；
所以当F（x）不是增函数时，h＜0；
综上，h＜0．
（2）先证明f（x）≤0对任意的x∈（0，+∞）成立，
假设存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0，
记
f(x0)
x
2
0
=m＞0，因为f（x）∈A2，
所以f（x）为“二阶比增函数”，
即
f(x)
x2
是增函数，
所以当x＞x0＞0时，
f(x)
x2
＞
f(x0)
x
2
0
=m，
即f（x）＞mx2；
所以一定存在x1＞x0＞0，使得f（x1）＞m
x
2
1
＞k成立，
这与f（x）＜k对任意的x∈（0，+∞）成立矛盾，
所以f（x）≤0对任意的x∈（0，+∞）都成立；
再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解，
假设存在x2＞0，使得f（x2）=0；
∵f（x）为“二阶比增函数”，即
f(x)
x2
是增函数，
∴一定存在x3＞x2＞0，使得
f(x3)
x
2
3
＞
f(x2)
x
2
2
=0成立，
这与上述的证明结果矛盾．
所以f（x）=0在（0，+∞）上无解，
综上所述，当f（x）∈A2时，对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立，
所以当常数k≥0时，使得对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k；
故k的最小值为0．
点评：本题考查了学生对新定义的接受与转化运用的能力，同时考查了导数的综合应用，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=(1，2)，
b
=(0，1)，
c
=(k，-2)，若(
a
+2
b
)⊥
c
，则实数k=
 
．
已知全集U=R，集合A={x||x|＜1}，B={x|x＞-
1
2
}，则（∁UB）∩A=
 
．
求下列三角函数式的值
（1）cos105°；
（2）cos（α-45°）cos（15°+α）+sin（α-45°）sin（15°+α）
已知函数f（x）=2x，g（x）=-x2+2x+b（b∈R），记h（x）=f（x）-
1
f(x)
．
（1）判断h（x）的奇偶性，并证明；
（2）f（x）在x∈[1，2]的上的最大值与g（x）在x∈[1，2]上的最大值相等，求实数b的值；
（3）若2xh（2x）+mh（x）≥0对于一切x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=x-alnx，（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈[e，e2]是否存在实数a，使得函数f（x）有最大值e，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
已知函数f（x）=lnx-ax2，a为常数．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1、x2，试证明：x1x2＞e．
在区间[-3，4]上随机地取一个实数a使得函数f（x）=x2+ax-4在区间[2，4]上存在零点的概率是（　　）
A、
1
7
B、
2
7
C、
3
7
D、
4
7
直线x+y+2=0上点到原点的距离的最小值为
 
．

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