Question

已知△OAB中，O为原点，点A（4，0），点B（0，2），圆C是△OAB的外接圆，P（m，n）是圆C上任一点，Q（-2，-2）．
（1）求圆C的方程；
（2）求

n+2

m+2

的最大值与最小值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：数形结合,直线与圆

分析：（1）根据直角三角形的特点确定圆心位置和半径，利用圆的标准方程即可解得；
（2）根据

n+2

m+2

的几何意义可知，

n+2

m+2

可看做PQ的斜率，又由直线与圆相切的性质可求出PQ的斜率．从而得出结果．

解答： 解：（1）∵△OAB是直角三角形，
∴外接圆的圆心为AB的中点．
∴圆心坐标为C（2，1）．
半径r=|AC|=

(2-4)2+1

=

5

．
∴圆C的方程为
（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）∵

n+2

m+2

可看做点P（m，n）与Q（-2，-2）连线的斜率，
∴由斜率与切斜角的关系可知，
当直线PQ与圆C相切时，

n+2

m+2

取得最大值与最小值．
设直线PQ方程为：y+2=k（x+2），
即kx-y+2k-2=0
则

|2k-1+2k-2|

k2+1

=

5

，
解得：k=2或k=

2

11

，
∴

n+2

m+2

的最大值为2，最小值为

2

11

．

点评：本题主要考查直角三角形的性质，圆的标准方程，斜率公式，直线与圆相切的性质等知识的综合应用．属于中档题．