题目内容
7．已知函数f（x）=（ex+1）（ax+2a-2），若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）-2＜0成立，则实数a的取值范围是（ ）| A． | （0，1） | B． | （0，$\frac{3}{2}$） | C． | （-∞，1） | D． | （-∞，$\frac{4}{3}$） |
分析 由题意分离出a可得存在x∈（0，+∞），使得不等式a＜$\frac{2}{x+2}$+$\frac{2}{（x+2）（2+{e}^{x}）}$成立，由函数的单调性求出右边式子的最大值可得．
解答 解：由题意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式（ex+1）（ax+2a-2）-2＜0成立，
故可得存在x∈（0，+∞），使得不等式（ex+1）（ax+2a-2）＜2成立，
即存在x∈（0，+∞），使得不等式a（x+2）＜2+$\frac{2}{2+{e}^{x}}$成立，
即存在x∈（0，+∞），使得不等式a＜$\frac{2}{x+2}$+$\frac{2}{（x+2）（2+{e}^{x}）}$成立，
又可得函数g（x）=$\frac{2}{x+2}$+$\frac{2}{（x+2）（2+{e}^{x}）}$在x∈（0，+∞）单调递减，
∴g（x）＜g（0）=$\frac{4}{3}$，∴实数a的取值范围为（-∞，$\frac{4}{3}$）
故选：D．
点评 本题以特称命题为载体，考查函数的单调性和值域，属中档题．
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| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{1}{4}$ |
15．若随机变量X～N（2，1），且P（X＞3）=0.1587，则P（X＜1）=（ ）
| A． | 0.8413 | B． | 0.6587 | C． | 0.1587 | D． | 0.3413 |
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| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{3}{4}$ | D． | $\frac{3}{5}$ |
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| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{2}$ |
19．为了得到函数的图象y=sin3x，只需把函数y=sin（3x+1）的图象上所有的点（ ）
| A． | 向左平移1个单位长度 | B． | 向右平移1个单位长度 | ||
| C． | 向左平移$\frac{1}{3}$个单位长度 | D． | 向右平移$\frac{1}{3}$个单位长度 |
16．若sinx=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则cos2x=（ ）
| A． | -$\frac{3}{5}$ | B． | $\frac{3}{5}$ | C． | -$\frac{3}{\sqrt{5}}$ | D． | $\frac{3}{\sqrt{5}}$ |