Question

17．设f（n）=（a+b）ⁿ（n∈N^*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．
（1）求证：f（7）具有性质P；
（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二项式定理计算可知f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为7、21、35，通过验证即得结论；
（2）通过假设${C}_{n}^{k-1}$+${C}_{n}^{k+1}$=2${C}_{n}^{k}$，化简、变形可知（2k-n）²=n+2，问题转化为求当n≤2016时n取何值时n+2为完全平方数，进而计算可得结论．

解答 （1）证明：f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为${C}_{7}^{1}$=7、${C}_{7}^{2}$=21、${C}_{7}^{3}$=35，
∵${C}_{7}^{1}$+${C}_{7}^{3}$=2${C}_{7}^{2}$，即${C}_{7}^{1}$、${C}_{7}^{2}$、${C}_{7}^{3}$成等差数列，
∴f（7）具有性质P；
（2）解：设f（n）具有性质P，则存在k∈N^*，1≤k≤n-1，使${C}_{n}^{k-1}$、${C}_{n}^{k}$、${C}_{n}^{k+1}$成等差数列，
所以${C}_{n}^{k-1}$+${C}_{n}^{k+1}$=2${C}_{n}^{k}$，
整理得：4k²-4nk+（n²-n-2）=0，即（2k-n）²=n+2，
所以n+2为完全平方数，
又n≤2016，由于44²＜2016+2＜45²，
所以n的最大值为44²-2=1934，此时k=989或945．

点评 本题考查二项式定理的应用，涉及等差数列等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．