题目内容

已知椭圆的焦点在x轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形
（1）求椭圆的离心率；
（2）若焦点到同侧顶点的距离为
3
，求椭圆的方程．
考点：椭圆的简单性质,椭圆的标准方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由题设条件能推导出a=2c，由此能求出椭圆的离心率．
（2）由已知条件设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）且a=2c，a-c=
3
，由此能求出椭圆方程．
解答： 解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，
短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，
∴a=2c，
∴离心率e=
c
a
=
1
2
．
（2）由（1）知可设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）
且a=2c，
∵焦点到同侧顶点的距离为
3
，
∴a-c=
3
，解得a=2
3
，c=
3
，b2=（2
3
）2-（
3
）2=9，
∴椭圆方程为：
x2
12
+
y2
9
=1．
点评：本题考查椭圆的离心率和标准方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质．
练习册系列答案
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A、
1
2
-
1
2
i
B、-
1
2
-
1
2
i
C、-
1
2
+
1
2
i
D、
1
2
+
1
2
i
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m
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n
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3
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m
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n

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3
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3
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2
π
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．
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．

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