Question

在平面直角坐标系xoy中，以O为圆心的圆与直线x-

3

y=4相切．
（1）求圆O的方程；
（2）已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0，判断它与圆O的位置关系，若相切求切线方程；若相交求相交弦所在的直线方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）以O为圆心的圆与直线x-

3

y=4相切．则圆心到直线的距离等于半径．从而可得到圆的标准方程．
（2）将圆C：x²+y²+2x-4y+3=0的方程化为标准方程．根据两圆的圆心距与半径之间的关系即可判断两圆的位置关系为相交．两圆方程相减可得相交弦所在的直线方程．

解答： 解：（1）∵圆O与直线x-

3

y=4相切，
∴圆心到直线的距离d=r．
∴r=

4

4

=2．
∴圆O的方程为：x²+y²=4．
（2）由（1）知，
圆心O（0，0），半径r₁=2．
将圆C：x²+y²+2x-4y+3=0化为标准方程，
得（x+1）²+（y-2）²=2．
∴圆心C（-1，2），半径r2=

2

．
则圆心距|OC|=

5

．
r1+r2=2+

2

，
r1-r2=2-

2

．
∴2-

2

＜

5

＜2+

2

．
∴圆O与圆C相交．
圆O的方程x²+y²=4与圆C的方程x²+y²+2x-4y+3=0相减，
得2x-4y+7=0．
∴相交弦所在的直线方程为：2x-4y+7=0．

点评：本题考查直线与圆相切的性质，直线与圆的位置关系的判断，相交弦所在的直线方程等知识，属于中档题．