Question

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，向量

m

=(1，cosB) 

n

=(sinB，-

3

)，且

m

⊥

n

（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为10

3

，b=7，求此三角形的周长．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）根据数量积的定义和公式，即可求角B的大小；
（2）根据三角形的面积公式以及余弦公式求出a+c的值，即可求此三角形的周长．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，
即sinB-

3

cosB=0，
∵锐角△ABC中，cosB≠0，
∴tanB=

3

，
即B=

π

3

．
（2）∵△ABC的面积为10

3

，
∴S=

1

2

acsinB=

3

4

ac=10

3

，
即ac=40，
由余弦定理7²=a²+c²-2accosB，
即49=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
∴（a+c）²=49+120=169，
∴a+c=13，
∴三角形的周长为a+b+c=13+7=20．

点评：本题主要考查向量数量积的应用，以及三角形面积公式和余弦公式的应用，考查学生的运算能力．