Question

已知函数f（x）=

x

ex+m

，m∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求m的值；
（Ⅱ）证明：当0＜a＜b＜1时，be^a+a＜ae^b+b．

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数，由x=1是f（x）的极值点，可得f′（1）=0，可得m=0，检验即可；
（Ⅱ）取m=-1，求出f（x）的导数，构造函数h（x）=e^x（1-x）-1，再求导数，判断在x＞0上的单调性，再运用条件，结合单调性即可得证．

解答： （Ⅰ）解：由f(x)=

x

ex+m

，则f′(x)=

ex+m-x•ex

(ex+m)2

=

ex(1-x)+m

(ex+m)2

，
由x=1是f（x）的极值点，得f′(1)=

m

(e+m)2

=0，
解得m=0，
此时f(x)=

x

ex

，经检验，x=1是f（x）的极值点．
则所求的实数m的值为0．
（Ⅱ）证明：取m=-1时，f(x)=

x

ex-1

，此时f′(x)=

ex(1-x)-1

(ex-1)2

．
构造函数h（x）=e^x（1-x）-1，
则h'（x）=e^x（1-x）+e^x（-1）=-xe^x在（0，+∞）上恒负，
即有h（x）在（0，+∞）上单调递减，
即有h（x）＜h（0）=0，
故f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
说明f(x)=

x

ex-1

在（0，+∞）上单调递减．
即有当0＜a＜b＜1时，

b

eb-1

＜

a

ea-1

，
又因为e^b＞e^a＞1，所以e^b-1＞0，e^a-1＞0，
则有b（e^a-1）＜a（e^b-1），
所以be^a+a＜ae^b+b成立．

点评：本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．