Question

已知函数f（x）=lg（

1-mx

1-x

）为奇函数．
（1）求m的值，并求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）若对于任意θ∈[0，

π

2

]，是否存在实数λ，使得不等式f（cos²θ+λsinθ-

1

3

）-lg3＞0．若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的条件建立方程关系，即可求m的值，
（2）根据函数单调性的定义即可判断函数f（x）的单调性；
（3）利用三角函数姜不等式进行转化，解三角不等式即可得到结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=lg（

1-mx

1-x

）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）在定义域内恒成立，
即lg（

1+mx

1+x

）=-lg（

1-mx

1-x

），
即lg（

1+mx

1+x

）+lg（

1-mx

1-x

）=0，
则

1+mx

1+x

•

1-mx

1-x

=1，即1-m²x²=1-x²，在定义域内恒成立，
∴m=-1或m=1，当m=1时，f（x）=lg（

1-mx

1-x

）=lg1=0，
∴m=-1，此时f（x）=lg

1+x

1-x

，
由

1+x

1-x

＞0，解得-1＜x＜1，
故函数的定义域是（-1，1）．
（2）∵f（x）=lg

1+x

1-x

，-1＜x＜1，任取-1＜x₁＜x₂＜1，
设u（x）=

1+x

1-x

，-1＜x＜1，
则u（x₁）-u（x₂）=

1+x1

1-x1

-

1+x2

1-x2

=

2(x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴u（x₁）-u（x₂）＜0，∴u（x₁）＜u（x₂），即lgu（x₁）＜lgu（x₂），
∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在定义域内单调递增．
（3）假设存在实数λ，使得不等式不等式f（cos²θ+λsinθ-

1

3

）-lg3＞0成立，
即不等式f（cos²θ+λsinθ-

1

3

）＞lg3=f（

1

2

），
由（1），（2）知：

1

2

＜cos²θ+λsinθ-

1

3

＜1 对于任意θ∈[0，

π

2

]，
即

1-sin2θ+λsinθ- 1 3 ＜1 1-sin2θ+λsinθ- 1 3 ＞ 1 2

，当θ=0时成立；

当θ∈（0，

π

2

]时，令sinθ=t，则

-t2+λt＜ 1 3 -t2+λt＞- 1 6

，
即

λ＜ 2 3 3 λ＞ 5 6

，则

5

6

＜λ＜

2 3

3

．

点评：本题主要考查函数性质的综合应用，要求熟练掌握函数奇偶性和单调性的判断和应用．