Question

如图所示，等腰△ABC的底边AB=6

6

，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，S（x）表示△BEF的面积，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积．
（Ⅰ）求S（x）和V（x）的表达式；
（Ⅱ）当x为何值时，V（x）取得最大值？
（Ⅲ）说明异面直线AP与EF所成的角θ与x的变化是否有关系，若无关，写出θ的值（不必写出理由与过程）．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（ I）由折起的过程知，PE⊥平面ABC，由此能求出S（x）和V（x）的表达式．
（ II）V′(x)=

6

3

(9-

1

4

x2)，利用导数性质得x=6时，V（x）取得最大值12

6

．
（Ⅲ）异面直线AP与EF所成的角θ与x的变化无关，θ=

π

2

．

解答： 解：（ I）由折起的过程知，
PE⊥平面ABC，
S△ABC=9

6

，
S△BEF=

x2

54

•S△BDC=

6

12

x2
V（x）=

6

3

x(9-

1

12

x2)（0＜x＜3

6

）．…（5分）
（ II）V′(x)=

6

3

(9-

1

4

x2)，
所以x∈（0，6）时，v'（x）＞0，V（x）单调递增；
6＜x＜3

6

时v'（x）＜0，V（x）单调递减；
因此x=6时，V（x）取得最大值12

6

；…（10分）
（Ⅲ）异面直线AP与EF所成的角θ与x的变化无关，θ=

π

2

．…（14分）

点评：本题考查三角形面积和四棱锥体积的求法，考查体积的最大值的求法，考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．