Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=

2

，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．
（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．
（2）求B点到平面PCD的距离．
（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q-AC-D的余弦值为

6

3

？若存在，求出

PQ

QD

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先证明直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直，可得PO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，确定平面POC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线PB与平面POC所成角的余弦值．
（2）求出平面PDC的法向量，利用距离公式，可求B点到平面PCD的距离．
（3）假设存在，则设

PQ

=λ

PD

（0＜λ＜1），求出平面CAQ的法向量、平面CAD的法向量

n

=（0，0，1），根据二面角Q-AC-D的余弦值为

6

3

，利用向量是夹角公式，即可求得结论．

解答： 解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；
所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．
则P（0，0，1），A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）；
所以

PB

=(1，-1，-1)，易证：OA⊥平面POC，
所以

OA

=(0，-1，0)，平面POC的法向量，
COS＜

PB

，

OA

＞=

PB • OA

| PB || OA |

=

3

3

所以PB与平面POC所成角的余弦值为

6

3

        …．（4分）
（2）

PB

=(1，-1，-1)，设平面PDC的法向量为

u

=(x，y，z)，
则

u - CP =-x+y=0 u - PD =y-z=0

，取z=1得

u

=(1，1，1)
B点到平面PCD的距离d=

| BP - u |

| u |

=

3

3

…．（8分）
（3）假设存在，则设

PQ

=λ

PD

（0＜λ＜1）
因为

PD

=（0，1，-1），所以Q（0，λ，1-λ）．
设平面CAQ的法向量为

m

=（a，b，c），则

a+b=0 (λ+1)b+(1-λ)c=0

，
所以取

m

=（1-λ，λ-1，λ+1），
平面CAD的法向量

n

=（0，0，1），
因为二面角Q-AC-D的余弦值为

6

3

，
所以

| m • n |

| m || n |

=

6

3

，
所以3λ²-10λ+3=0．
所以λ=

1

3

或λ=3（舍去），
所以

PQ

QD

=

1

2

-------------（12分）

点评：本题主要考查直线与平面的位置关系、直线与平面所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．