Question

12．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|-|x-b|+c的最大值为10．
（1）求a+b+c的值；
（2）求$\frac{1}{4}$（a-1）²+（b-2）²+（c-3）²的最小值，并求出此时a、b、c的值．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式，求出f（x）的最大值为a+b+c，即可求a+b+c的值；
（2）利用柯西不等式，即可得出结论．

解答 解：（1）f（x）=|x+a|-|x-b|+c≤|b+a|+c，当且仅当x≥b时等号成立，
∵a＞0，b＞0，∴f（x）的最大值为a+b+c．
又已知f（x）的最大值为10，所以a+b+c=10．（4分）
（2）由（1）知a+b+c=10，由柯西不等式得[$\frac{1}{4}$（a-1）²+（b-2）²+（c-3）²]（2²+1²+1²）≥（a+b+c-6）²=16，
即$\frac{1}{4}$（a-1）²+（b-2）²+（c-3）²≥$\frac{8}{3}$（7分）
当且仅当$\frac{1}{4}$（a-1）=b-2=c-3，即a=$\frac{11}{3}$，b=$\frac{8}{3}$，c=$\frac{11}{3}$时等号成立．（10分）

点评 本题考查绝对值不等式、柯西不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．