Question

20．用数学归纳法证明：1+2+2²+…+2^3n-1可以被7整除．

Answer 1

分析 先验证n=1结论成立，假设n=k结论成立，推导n=k+1时结论成立即可．

解答 证明：（1）n=1时，左边=1+2+2²=7，显然能被7整除，
（2）假设n=k时，1+2+2²+…+2^3k-1可以被7整除，即1+2+2²+…+2^3k-1=7m，m∈N，
则n=k+1时，左边=1+2+2²+…+2^3k-1+2^3k+2^3k+1+2^3k+2=7m+2^3k+2^3k+1+2^3k+2=7m+2^3k（1+2+2²）=7m+7•2^3k=7（m+2^3k），
∴1+2+2²+…+2^3k-1+2^3k+2^3k+1+2^3k+2能被7整除，
综上，1+2+2²+…+2^3n-1可以被7整除．

点评 本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．