题目内容

2．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，F1、F2是椭圆的左、右焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，且S${\;}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l过右焦点F2且交椭圆E于P、Q两点，点M是直线x=2上的任意一点，直线MP、MF2、MQ的斜率分别为k1、k2、k3，问是否存在常数λ，使得k1+k3=λk2成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

分析 （Ⅰ）求利用三角形的面积公式$\frac{1}{2}$（a+c）b=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，根据椭圆的离心率及a，b和c的关系，求得a与b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）当斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式可知k1+k3=$\frac{{y}_{1}-t}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-t}{{x}_{2}-2}$，代入即可求得k1+k3=2t，则k2=$\frac{t}{2-1}$=t，即可求得λ的值．

解答 解：（Ⅰ）由F1（-c，0），A（a，0），B（0，b），
则S${\;}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$（a+c）b=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
则（a+c）b=$\sqrt{2}$+1，即（a+c）$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$+1，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=$\sqrt{2}$c，
则（$\sqrt{2}$c+c）$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$+1，
解得：c=1，则a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：F2的坐标为F2（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（2，t），
当直线l的斜率不为0时，设l的方程为x=my+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x得（m2+2）y2+2my-1=0，
则y1+y2=-$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y1y2=-$\frac{1}{{m}^{2}+2}$，
则k1+k3=$\frac{{y}_{1}-t}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-t}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}-t}{m{y}_{1}-1}$•$\frac{{y}_{2}-t}{m{y}_{2}-1}$=$\frac{（{y}_{1}-t）（m{y}_{2}-1）+（{y}_{2}-t）（m{y}_{1}-1）}{（m{y}_{1}-1）（m{y}_{2}-1）}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}-（mt+1）（{y}_{1}+{y}_{2}）+2t}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$，
=$\frac{-\frac{2m}{{m}^{2}+2}+\frac{2m（mt+1）}{{m}^{2}+2}+2t}{-\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}+2}+\frac{2{m}^{2}}{{m}^{2}+2}+1}$，
=$\frac{4{m}^{2}t+4t}{2{m}^{2}+2}$=2t，
由k2=$\frac{t}{2-1}$=t，则k1+k3=2k2，
当直线l的斜率为0时，显然k1+k3=$\frac{t}{2+\sqrt{2}}$+$\frac{t}{2-\sqrt{2}}$=2t=2k2，
k1+k3=2k2，成立，
综上可知：存在λ=2，使得k1+k3=λk2成立．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．

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