Question

20．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（4，3），若A，B，C三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC，且直线BC与x轴交于点D．
（1）求cos∠CAD的值；
（2）求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图象，设∠BAD=α、∠CAD=β，由三角函数的定义求出cosα、sinα的值，由β=60°-α和两角差的余弦函数求出cosβ的值，可得答案；
（2）设点C（x，y），由（1）和两角差的正弦函数求出sinβ，由三角函数的定义求出x和y，可得答案．

解答 解：（1）设∠BAD=α，∠CAD=β，且AB=5，
由三角函数的定义得$cosα=\frac{4}{5}$，$sinα=\frac{3}{5}$，
故cosβ=cos（60°-α）═$\frac{1}{2}cosα+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα=\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$，
即$cos∠CAD=\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$．
（2）设点C（x，y）．
由（1）知sinβ=sin（60°-α）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosα-\frac{1}{2}sinα=\frac{{4\sqrt{3}-3}}{10}$，
因为AC=AB=5，
所以$x=5cosβ=\frac{{4+3\sqrt{3}}}{2}$，$y=-5sinβ=\frac{{3-4\sqrt{3}}}{2}$，
故点$C（\frac{{4+3\sqrt{3}}}{2}，\frac{{3-4\sqrt{3}}}{2}）$．

点评 本题考查两角差的余弦函数，两角差的正弦函数，三角函数的定义，以及变角在三角函数求值中的应用，考查化简、计算能力．