Question

17．已知函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（$\frac{C}{2}$）=2，求∠C．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，利用余弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．
（Ⅱ）在△ABC中，由f（$\frac{C}{2}$）=2，求得cos（C-$\frac{π}{3}$）=1，从而求得∠C的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2cos（2x-$\frac{π}{3}$），
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴-$\frac{1}{2}$≤cos（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，∴f（x）∈[-1，2]．
（Ⅱ）在△ABC中，∵f（$\frac{C}{2}$）=2cos（C-$\frac{π}{3}$）=2，可得cos（C-$\frac{π}{3}$）=1，
结合C-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），可得C-$\frac{π}{3}$=0，∴∠C=$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．