Question

12．已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是84-π．

Answer 1

分析 由图知，要求的面积有两部分：
①三角形的内部被圆滚过的部分是个三角形，且与原三角形相似，已知了原三角形的周长和面积，可求得原三角形的内切圆半径，进而可得三角形内部被圆滚过部分的三角形的内切圆半径，即可得到两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质可求得此三角形的周长和面积；
②三角形边界的三个角的面积；连接单位圆的圆心和原三角形的三顶点，先求得构成的6个小直角三角形的面积，而3个扇形正好构成一个圆，由此可得原三角形边界三个角的面积；
综合①②的面积，即可得所求的值．

解答 解：如图．
设△ABC的内切圆半径为R，△DEF的内切圆半径为r；
依题意有：$\frac{1}{2}$×84×R=210，即R=5；
易知：△DEF∽△ABC，且r：R=4：5，
∴C_△DEF=$\frac{4}{5}$C_△ABC=67.2；
易知：被圆滚过的三角形内部的三角形也和△ABC相似；
且其内切圆半径为：R-2=3，即其面积=$（\frac{3}{5}）^{2}$S_△ABC=75.6；
由图知：S_{四边形AHDG}=2S_△AGD=AG•1=AG，同理S_{四边形PEQB}=BQ，S_{四边形CNFM}=CM；
∴S_{四边形AHDG}+S_{四边形PEQB}+S_{四边形CNFM}=AG+CM+BQ=$\frac{1}{2}$（C_△ABC-C_△DEF）=8.4；
而S_扇形DHG+S_扇形PEQ+S_扇形FMN=S_单位圆=π，
∴所求的面积=75.6+8.4-π=84-π．
故答案为：84-π．

点评 此题主要考查的是图形面积的求法，涉及到切线的性质、扇形面积的计算方法、相似三角形以及三角形内切圆半径的求法等知识；需要注意的有两点：
①被圆滚过的三角形内部的三角形与原三角形相似，②原三角形边界的三个扇形正好构成一个单位圆．