Question

1．（1）已知f（x）=lnx-ax²，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0对x＞0上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）得到a≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，记g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，求出函数的导数，得到g（x）的最大值，从而求出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2{ax}^{2}}{x}$，（x＞0），
（i）若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
（ii）若a＞0，由f′（x）=0，得：x=±$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，
0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{2a}}$时，f′（x）＞0，f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）递增，
x＞$\frac{1}{\sqrt{2a}}$时，f′（x）＜0，f（x）在（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，+∞）递减；
（2）由f（x）≤0，得lnx-ax²≤0，a≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
记g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，则g′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，x＞0，
当x＞$\sqrt{e}$时，g′（x）＜0，g（x）在（$\sqrt{e}$，+∞）递减，
0＜x＜$\sqrt{e}$时，g′（x）＞0，g（x）在（0，$\sqrt{e}$）递增，
∴g（x）_max=g（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，
a≥$\frac{1}{2e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．