Question

14．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：B₁D⊥平面A₁BC₁，写出证明过程，并分析上述证明过程中，运用了几个“三段论”推理，各段推理的大前提是什么？

Answer 1

分析 连接B₁D₁，则证明A₁C₁⊥B₁D，同理可证BC₁⊥B₁D，即可证明B₁D⊥平面A₁C₁B．

解答 证明：连结B₁D₁，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴B₁D₁⊥A₁C₁，（大前提是正方形的对角线互相垂直）
又DD₁⊥面A₁B₁C₁D₁，
∴DD₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥面D₁DB₁，（大前提是直线垂直与平面，直线与平面内的任意直线垂直）
∴A₁C₁⊥B₁D，
同理可证B₁D⊥A₁B，
又A₁C₁∩A₁B=A₁，
∴B₁D⊥平面A₁BC₁．（大前提是线面垂直的判定定理）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查“三段论”推理，属基本知识的考查．