Question

在公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求a_n；
（2）设b_n=

1

anan+1

，求b₁+b₂+…+b_n的值；
（3）设c_n=a_n-8，求数列{|c_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得（1+d）²=1×（1+4d），由此能求出a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）由b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能求出b₁+b₂+…+b_n．
（3）由c_n=a_n-8=2n-9，得{c_n}是首项为-7，公差为2的等差数列，由此能求出数列{|c_n|}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴（1+d）²=1×（1+4d），
解得d=2或d=0（舍），
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
（3）∵c_n=a_n-8=2n-9，
∴{c_n}是首项为-7，公差为2的等差数列，
由c_n=2n-9≥0，得n≥

9

2

，
∴当n≤4时，T_n=-[-7n+

n(n-1)

2

×2]=-n²+8n．
当n≥5时，T_n=[-7n+

n(n-1)

2

×2]-2[-7×4+

4(4-1)

2

×2]=n²-8n+32．
∴T_n=

-n2+8n，n≤4 n2-8n+32，n≥5

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．