Question

设向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与最大值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间和对称轴．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由于向量的数量积的坐标公式和二倍角公式以及两角和的正弦公式，化简f（x），再由周期公式和正弦函数的值域，即可得到所求值；
（Ⅱ）由正弦函数的单调增区间和对称轴，即可得到所求．

解答： 解：（Ⅰ）由于向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），x∈R，
函数f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+cos2x=

1

2

sin2x+

1

2

（1+cos2x）=

1

2

（sin2x+cos2x）+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
则函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
当sin（2x+

π

4

）=1时，f（x）取得最大值为

1+ 2

2

；
（Ⅱ）当2x+

π

4

∈[-

π

2

+2kπ，2kπ+

π

2

]，f（x）单调递增，即x∈[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]
所以f（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
当2x+

π

4

=kπ+

π

2

时，即x=

kπ

2

+

π

8

，因此f（x）的对称轴为x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标公式，考查三角函数的化简，求最值，求周期，以及单调区间和对称性，属于中档题．