Question

12．已知ω为正整数，函数f（x）=sinωxcosωx+${cos^2}ωx-\frac{1}{2}$在区间$（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{12}}）$内单调递增，则函数f（x）（　　）

• A． 最小值为$-\frac{1}{2}$，其图象关于点$（{\frac{π}{4}，0}）$对称
• B． 最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其图象关于直线$x=-\frac{π}{8}$对称
• C． 最小正周期为2π，其图象关于点$（{\frac{3π}{4}，0}）$对称
• D． 最小正周期为π，其图象关于直线$x=-\frac{3π}{8}$对称

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），由正弦函数的图象和性质可求ω的值，进而即可得解．

解答 解：∵f（x）=sinωxcosωx+${cos^2}ωx-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{1+cos2ωx}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），
又∵f（x）在在区间$（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{12}}）$内单调递增，
∴由-$\frac{π}{2}$≤2×（-$\frac{π}{3}$）ω+$\frac{π}{4}$，2×$\frac{π}{12}$ω+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，解得：ω≤$\frac{9}{8}$，ω≤$\frac{3}{2}$，
∴由ω为正整数，可得ω=1，f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小正周期为π，故A，C选项错误；
∵令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈z，可得当k=-1时，f（x）关于直线x=-$\frac{3π}{8}$对称．
∴B选项错误，D选项正确．
故选：D．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．