Question

5．已知向量$\overrightarrow m=（1，1）$，向量$\overrightarrow n$与向量$\overrightarrow m$的夹角为$\frac{3}{4}π$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-1$
（1）求向量$\overrightarrow n$；
（2）若向量$\overrightarrow q=（1，0）$，且$|{\overrightarrow q+\overrightarrow n}|=|{\overrightarrow q-\overrightarrow n}|$，向量$\overrightarrow p=（cosA\;，\;2{cos^2}\frac{C}{2}）$，其中A，B，C为△ABC的内角且有A+C=2B，求$|{\overrightarrow n+\overrightarrow p}|$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow n=（x，y）$，由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=x+y=-1$和cos$\frac{3π}{4}$列出方程组求出x、y的值即可；
（2）由$|{\overrightarrow q+\overrightarrow n}|=|{\overrightarrow q-\overrightarrow n}|$得出$\overrightarrow{q}$⊥$\overrightarrow{n}$，求出$\overrightarrow{n}$的值，再由A+C=2B求出B=$\frac{π}{3}$；
求出$|{\overrightarrow n+\overrightarrow p}|$的解析式，再根据角的取值求解析式的取值范围即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow m=（1，1）$，向量$\overrightarrow n$与向量$\overrightarrow m$的夹角为$\frac{3}{4}π$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-1$；
令$\overrightarrow n=（x，y）$，∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n=x+y=-1$；…（2分）
∴cos$\frac{3π}{4}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|×|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}×\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x²+y²=1；…（4分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=-1}\\{{x}^{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{n}$=（-1，0）或$\overrightarrow{n}$=（0，-1）；…（6分）
（2）∵$|{\overrightarrow q+\overrightarrow n}|=|{\overrightarrow q-\overrightarrow n}|$，∴$\overrightarrow{q}$⊥$\overrightarrow{n}$；
又$\overrightarrow q=（1，0）$，∴$\overrightarrow{n}$=（0，-1）；
又△ABC中，A+C=2B，
∴B=$\frac{π}{3}$；
$\overrightarrow p=（cosA\;，\;2{cos^2}\frac{C}{2}）$，
∴$\overrightarrow n+\overrightarrow p=（cosA，2{cos^2}\frac{C}{2}-1）=（cosA，cosC）$，
∴|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|=$\sqrt{{cos}^{2}A{+cos}^{2}C}$
cos²A+cos²C=$\frac{1+cos2A}{2}$+$\frac{1+cos（\frac{4π}{3}-2A）}{2}$
=1+$\frac{1}{2}$cos2A+$\frac{1}{2}$•（-$\frac{1}{2}$）cos2A+$\frac{1}{2}$•（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）sin2A
=1-$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$cos2A
=1-$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）；
∴$|{\overrightarrow n+\overrightarrow p}|=\sqrt{1-\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{6}）}$；…（10分）
∵$A∈（0，\frac{2}{3}π）$，∴2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
∴1-$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）；
∴$|{\overrightarrow n+\overrightarrow p}|∈[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$．…（12分）

点评 本题考查了平面向量与三角函数的运算问题，是综合题．