Question

15．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，平面PBC⊥平面ABCD．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）在侧棱PA上是否存在一点M，使得DM∥平面PCB？若存在，试给出证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点E，连结CE，推导出四边形AECD是正方形，从而CE⊥AB，由勾股定理得AC⊥CB，从而AC⊥平面PBC，由此能证明AC⊥PB．
（2）当M为侧棱PA的中点时，取PB的中点N，连接DM，MN，CN．推导出四边形MNCD为平行四边形，从而DM∥CN，由此能证明DM∥平面PCB．

解答 证明：（1）取AB的中点E，连结CE，
∵AB∥CD，$DC=\frac{1}{2}AB$，
∴DC∥AE，DC=AE，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠ADC=90°，∴四边形AECD是正方形，
∴CE⊥AB．
∴△CAB为等腰三角形，且$CA=CB=2，AB=2\sqrt{2}$，
∴AC²+CB²=AB²，∴AC⊥CB，…（3分）
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AC⊥CB，
AC?平面ABCD．
∴AC⊥平面PBC．
又∵PB?平面PBC，∴AC⊥PB．…（6分）
解：（2）当M为侧棱PA的中点时，DM∥平面PCB．…（7分）
证明：取PB的中点N，连接DM，MN，CN．
在△PAB中，MN为中位线，∴MN∥AB，$MN=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$．
由已知AB∥CD，所以MN∥CD．
又$MN=CD=\sqrt{2}$，∴四边形MNCD为平行四边形．∴DM∥CN．…（10分）
又DM?平面PCB，CN?平面PCB，∴DM∥平面PCB．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点的位置的确定与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．