Question

设函数f（x）=e^x+x²-a（a∈R，e为自然对数的底数），若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是

 

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Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．

解答： 解：∵存在b∈[0，1]，使f（f（b））=b成立
∴存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）
即函数f（x）与其反函数f^-1（x）在[0，1]上有交点
∵f（x）=e^x+x²-a在[0，1]上为增函数
∴函数f（x）与其反函数f^-1（x）在[0，1]的交点在直线y=x上，
即函数f（x）与其反函数f^-1（x）的交点就是f（x）与y=x的交点
令：e^x+x²-a=x，则方程在[0，1]上一定有解
∴a=e^x+x²-x
设g（x）=e^x+x²-x
则g′（x）=e^x+2x-1＞0在[0，1]上恒成立，
∴g（x）=e^x+x²-x在[0，1]上递增
∴a=g（x）≥g（0）=1，
g（x）≤g（1）=1+e；
综上可知，1≤a≤1+e
故答案为：1≤a≤1+e．

点评：本题主要考察了复合函数的性质，综合性较强，属于难题．