Question

在△ABC中，A、B、C为三个内角，f（B）=4sinB•cos²（

π

4

-

B

2

）+cos2B．
（Ⅰ）若f（B）=2，求角B；
（Ⅱ）若f（B）-m＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）化简可得f（B）=2sinB+1，结合已知可得sinB的值，可得B的值；
（Ⅱ）由f （B）-m＜2恒成立集合三角函数的最值可得1+m＞2，解不等式可得．

解答： 解：（Ⅰ）化简可得f（B）=4sinB•cos²（

π

4

-

B

2

）+cos2B
=4sinB•

1+cos( π 2 -B)

2

+1-2sin²B
=2sinB（1+sinB）+1-2sin²B
=2sinB+1=2，∴sinB=

1

2

，
又∵0＜B＜π，∴B=

π

6

或

5π

6

．
（Ⅱ）∵f （B）-m＜2恒成立，
∴2sinB+1-m＜2恒成立，
∴2sinB＜1+m
∵0＜B＜π，
∴2sinB的最大值为2，
∴1+m＞2，∴m＞1．

点评：本题考查三角函数化简求值，涉及二倍角公式和恒成立问题，属中档题．