Question

已知命题P：函数f（x）=x²-ax+3在（-∞，

1

2

]上是减函数，命题q：不等式（a-2）x²-2（a-2）-4＜0对一切x∈R都成立．若“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：命题P：函数f（x）=x²-ax+3在（-∞，

1

2

]上是减函数，利用二次函数的单调性可得

1

2

≤

a

2

，解得a即可；命题q：不等式（a-2）x²-2（a-2）x-4＜0对一切x∈R都成立．当a=2时，不等式化为-4＜0，满足条件；当a≠2时，必须满足

a-2＜0 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

，解得即可．由于“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，可得p与q必然一真一假．

解答： 解：∵命题P：函数f（x）=x²-ax+3在（-∞，

1

2

]上是减函数，∴

1

2

≤

a

2

，解得a≥1；
命题q：不等式（a-2）x²-2（a-2）x-4＜0对一切x∈R都成立．当a=2时，不等式化为-4＜0，满足条件；当a≠2时，必须满足

a-2＜0 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

，解得-2＜a＜2．综上可得：-2＜a≤2．
∵“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，
∴p与q必然一真一假．
当p真q假时，可得

a≥1 a≤-2或a＞2

，解得a＞2；
当q真p假时，可得

a＜1 -2＜a≤2

，解得-2＜a＜1．
综上可得：实数a的取值范围是（-2，1）∪（2，+∞）．

点评：本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．