Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据条件构造等差数列，利用等差数列的通项公式即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法即可求数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N*），λ＞0，
可得

an+1

λn+1

-(

2

λ

)n+1=

an

λn

-(

2

λ

)n+1，
所以[

an+1

λn+1

-(

2

λ

)n+1]-[

an

λn

-(

2

λ

)n]=1，故{

an

λn

-(

2

λ

)n}是以

a1

λ

-

2

λ

=

2

λ

-

2

λ

=0为首项，公差d=1的等差数列，
故

an

λn

-(

2

λ

)n=n-1，
则a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
（Ⅱ）设T_n=λ²+2λ³+3λ⁴+…+（n-2）λ^n-1+（n-1）λⁿ①
λT_n=λ³+2λ⁴+3λ⁵+…+（n-2）λⁿ+（n-1）λⁿ⁺¹．②
当λ≠1时，①式减去②式，得（1-λ）T_n=λ²+λ³+…+λⁿ-（n-1）λⁿ⁺¹=

λ2-λn+1

1-λ

-(n-1)λn+1，
则T_n=

λ2-λn+1

(1-λ)2

-

(n-1)λn+1

1-λ

=

(n-1)λn+2-nλn+1+λ2

(1-λ)2

，
则数列{a_n}的前n项和S_n=

(n-1)λn+2-nλn+1+λ2

(1-λ)2

+2ⁿ⁺¹-2，
当λ=1时，T_n=

n(n-1)

2

．则数列{a_n}的前n项和S_n=

n(n-1)

2

．+2ⁿ⁺¹-2．

点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和，要求熟练掌握构造法以及错位相减法在求解数列中的应用．