Question

已知函数f（x）=lnx+x²．
（1）若函数g（x）=f（x）-ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e^3x-3ae^x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先将g（x）在（0，+∞）上递增，转化成f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，最后根据基本不等式求最值的方法可求出实数a的取值范围；
（2）求出函数的导数，h'（x）=3e^3x-3ae^x=3e^x（e^2x-a），令h'（x）=0得e^2x=a，故x=

1

2

lna，
分当0≤x＜

1

2

lna时与当x＞

1

2

lna时，再讨论导数的正负与单调性的规律，得出极值．

解答： 解：（1）∵g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，定义域：（0，+∞）
∴g'（x）=

1

x

+2x-a 
∵函数g（x）=f（x）-ax在定义域内为增函数，g'（x）=

1

x

+2x-a≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≤

1

x

+2x在（0，+∞）恒成立，
令t（x）=

1

x

+2x，只需a≤t（x）_最小值即可，
∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

1 x •2x

=2

2

当且仅当

1

x

=2x，x=

2

2

时上式取等号，∴t（x）_最小值=2

2

，
∴a≤2

2

．
（2）由（1）以及条件得：1＜a≤2

2

，
∵h（x）=e^3x-3ae^x，
∴h'（x）=3e^3x-3ae^x=3e^x（e^2x-a），
令h'（x）=0得e^2x=a，∴x=

1

2

lna，
∵1＜a≤2

2

，∴
lna≤ln2

2

，∴

1

2

lna≤

1

2

ln2

2

=

3

4

ln2，∴

1

2

lna∈[0，ln2]，
当0≤x＜

1

2

lna时，2x＜lna，∴e^2x＜e^lna=a，∴e^2x-a＜0，∴h'（x）＜0，∴h（x）在[0，

1

2

lna]上递减；
当x＞

1

2

lna时，2x＞lna，∴e^2x＞e^lna=a，∴e^2x-a＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在[

1

2

lna，ln2]上递增；
∴当x=

1

2

lna时，函数h（x）取极小值，
∴h(x)极小值=h(

1

2

lna)=(e)3•

1

2

lna-3a(e)

1

2

lna=(a)

3

2

-3a•(a)

1

2

=-2(a)

3

2

．

点评：利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题还考查了分类讨论思想在函数题中的应用，属于高档题．