Question

设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2010，且对任意的x∈R，满足f（x+2）-f（x）≤3•2^x，f（x+6）-f（x）≥63•2^x，则f（2010）=________．

Answer 1

2²⁰¹⁰+2009
分析：先由题目中的两个不等式推导出f（x+6）-f（x）的值，然后再用累加法和等比数列求和公式即可求解
解答：∵f（x+2）-f（x）≤3•2^x
∴f（x+4）-f（x+2）≤3•2^x+2=12•2^x
f（x+6）-f（x+4）≤3•2^x+4=48•2^x
∴以上三式相加：f（x+6）-f（x）≤63•2^x
又∵f（x+6）-f（x）≥63•2^x
∴f（x+6）-f（x）=63•2^x
∴f（6）-f（0）=63•2⁰
f（12）-f（6）=63•2⁶
f（18）-f（12）=63•2^12
…
f（2010）-f（2004）=63•2²⁰⁰⁴
∴上式相加得：f（2010）-f（0）=63•2⁰+63•2⁶+63•2¹²+…+63•2²⁰⁰⁴
=63•（2⁰+2⁶+2¹²+…+2²⁰⁰⁴）
=63•
=2²⁰¹⁰-1
∴f（2010）=f（0）+2²⁰¹⁰-1=2010+2²⁰¹⁰-1=2²⁰¹⁰+2009
故答案为：2²⁰¹⁰+2009
点评：本题及考察了抽象函数的相关知识，又考察了数列中的累加法和等比数列求前n项和公式，注重知识点的交汇和灵活运用．属难题