题目内容

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2+a(a是常数).则x∈[2,4]时的解析式为(  )
A、f(x)=-x2+6x-8B、f(x)=x2-10x+24C、f(x)=x2-6x+8D、f(x)=x2-6x+8+a
分析:由f(x+2)=-f(x),得出4是f(x)的周期;由f(x)是R上的奇函数,得出f(0)=a=0;
由x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,求出x∈[-2,0]时,f(x)的解析式,从而求出x∈[2,4]时,f(x)的解析式.
解答:解:∵对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x);
∴用x+2代替x,则f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
即f(x+4)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的周期函数;又∵f(x)是定义在R上的奇函数,且x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2+a,
∴f(0)=a=0,∴f(x)=2x-x2
当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],
∴f(x)=-f(-x)=-[2(-x)-(-x)2]=2x+x2
∴当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
∴f(x-4)=2(x-4)+(x-4)2=x2-6x+8;
又∵f(x)的周期是4,∴f(x)=f(x-4)=x2-6x+8,
∴在x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8;
故选:D.
点评:本题考查了函数的奇偶性和周期性以及解析式的求法,是易错题.
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