题目内容
设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x＞0时，有f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
分析：由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=
为减函数，由f（x）是定义在R上的奇函数，可得g（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，结合g（x）的图象，解不等式即可
| f(x) |
| x |
解答：解：设g（x）=
则g（x）的导数为g′（x）=
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）＜0，
∴当x＞0时，函数g（x）=
为减函数，
又∵g（-x）=
=
=g（x）
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（1）=
=0
∴函数g（x）的图象如图：数形结合可得
∵xf（x）＞0且，f（x）=xg（x）（x≠0）
∴x2•g（x）＞0
∴g（x）＞0
∴0＜x＜1或-1＜x＜0
故选D
| f(x) |
| x |
则g（x）的导数为g′（x）=
| xf，(x)-f(x) |
| x2 |
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）＜0，
∴当x＞0时，函数g（x）=
| f(x) |
| x |
又∵g（-x）=
| f(-x) |
| -x |
| f(x) |
| x |
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（1）=
| f(1) |
| 1 |
∴函数g（x）的图象如图：数形结合可得
∵xf（x）＞0且，f（x）=xg（x）（x≠0）
∴x2•g（x）＞0
∴g（x）＞0
∴0＜x＜1或-1＜x＜0
故选D
点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．
练习册系列答案
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设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x2+a（a是常数）．则x∈[2，4]时的解析式为（ ）
| A、f（x）=-x2+6x-8 | B、f（x）=x2-10x+24 | C、f（x）=x2-6x+8 | D、f（x）=x2-6x+8+a |