题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
acosC=csinA．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为
，求
•
的值．
| 3 |
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为
3
| ||
| 2 |
| CA |
| AB |
考点：正弦定理,平面向量数量积的运算
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，由sinA不为0求出tanC的值，即可确定出角C的大小；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把a，sinC，以及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值，求出cosA的值，利用平面向量的数量积运算法则即可确定出原式的值．
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把a，sinC，以及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值，求出cosA的值，利用平面向量的数量积运算法则即可确定出原式的值．
解答：
解：（Ⅰ）∵
acosC=csinA，
由正弦定理得：
sinAcosC=sinCsinA，
∵0＜A＜π，∴sinA＞0，
∴
cosC=sinC，即tanC=
，
又0＜C＜π，∴C=
；
（Ⅱ）∵a=3，△ABC的面积为
，
∴S=
absinC=
×3bsin
=
，
∴b=2，
由余弦定理得：c2=4+9-6=7，即c=
，cosA=
=
，
则
•
=bccos（π-A）=2
×（-
）=-1．
| 3 |
由正弦定理得：
| 3 |
∵0＜A＜π，∴sinA＞0，
∴
| 3 |
| 3 |
又0＜C＜π，∴C=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）∵a=3，△ABC的面积为
3
| ||
| 2 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
3
| ||
| 2 |
∴b=2，
由余弦定理得：c2=4+9-6=7，即c=
| 7 |
22+(
| ||
2×2×
|
| ||
| 14 |
则
| CA |
| AB |
| 7 |
| ||
| 14 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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