Question

在各项均为正数的数列{a_n}中，数列的前n项和为S_n满足Sn=

1

2

(an+

1

an

)．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，并根据规律猜想出数列{a_n}的通项公式；
（2）请用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由题意Sn=

1

2

(an+

1

an

)，代入计算，可求a₁，a₂，a₃的值，并根据规律猜想出数列{a_n}的通项公式；
（2）检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答： 解：（1）∵Sn=

1

2

(an+

1

an

)，
∴令n=1得，a₁=1；令n=2得a₂=

2

-1；令n=3得a₃=

3

-

2

；
猜想a_n=

n

-

n-1

；
（2）①n=1时，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即a_k=

k

-

k-1

，
则a_k+1=S_k+1-S_k=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(ak+

1

ak

)，化简可得a_k+1=

k+1

-

k

，
即n=k+1时，结论成立．
由①②可得a_n=

n

-

n-1

．

点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．